Đặt \(AB=CD=c\), \(BC=DA=a\) , \(AC=b\) và \(BD=d\)
Do N là trung điểm cạnh BD nên theo công thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có :
\(AN^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{d^2}{4}\) và \(CN^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{d^2}{4}\)
Suy ra : \(NA^2-NC^2=0=MA^2-MC^2\)
Từ đó theo kết quả bài toán suy ra \(MN\perp AC\)
Lập luận tương tự ta cũng được \(MN\perp BD\)
Cho tứ giác ABCD có AB song song với CD. Các đường thẳng AC, BD cắt nhau ở E và các đường thẳng AD, BC cắt nhau ở F. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm cạnh AB, CD. Chứng minh rằng E, F, M, N cùng nằm trên một đường thẳng.
Cho tứ giác ABCD. Gọi I. J theo thứ tự là trung điểm AC, BD
1. Chứng minh rằng \(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4ỊJ^2\)
2. Chứng minh rằng \(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\ge AC^2+BD^2\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F,G lần lượt là trung điểm các cạnh DA, DB, DC và H, I, K tương ứng là trung điểm BC, CA, AB. Biết rằng EH=FI=GK. Chứng minh rằng :
\(\frac{DA}{\cos\widehat{BDC}}=\frac{DB}{\cos\widehat{CDA}}=\frac{DC}{\cos\widehat{ADB}}\)
Cho tứ diên đều ABCD có các cạnh bằng a. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD) và O là trung điểm đoạn thẳng AH. Chứng minh rằng các đường thẳng OB, OC và OD đôi một vuông góc.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, CD; P,Q là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC, BD sao cho PA/PC=QB/QD. Chứng minh rằng M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và CD. Lấy P thuộc CM và Q thuộc AN sao cho AQ : QN = CP:PM=2:1. Chứng minh rằng B,D,P và Q thẳng hàng.
cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật,AD=2a,AB=a; O là giao điểm của AC và BD, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO=a/2. Gọi M là trung điểm của BC.
a)Chứng minh SM vuông góc mặt phẳng (SAD)
b) Gọi \(\phi\) là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD), tính sin\(\phi\)
Cho tam giác ABC. Xét các điểm M thuộc BC, N thuộc CA và P thuộc AB sao cho tứ giác APMN là một hình bình hành. Gọi O là giao điểm của các đường thẳng BN và CP. Xác định vị trí hình học của điểm M trên cạnh BC sao cho góc PMO= góc OMP
