Question

cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật,AD=2a,AB=a; O là giao điểm của AC và BD, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO=a/2. Gọi M là trung điểm của BC. 

a)Chứng minh SM vuông góc mặt phẳng (SAD)

b) Gọi \(\phi\) là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD), tính sin\(\phi\)

Answer 1

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow MN\perp AD\Rightarrow AD\perp\left(SMN\right)\Rightarrow AD\perp SM\)

Mặt khác: \(MN=AB=a\) ; \(SM=SN=\sqrt{SO^2+\left(\dfrac{MN}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow SM^2+SN^2=MN^2\Rightarrow\Delta SMN\) vuông cân tại S hay \(SM\perp SN\)

\(\Rightarrow SM\perp\left(SAD\right)\)

Trong mp (SBC), dựng hình chữ nhật SMCP \(\Rightarrow CP||SM\Rightarrow CP\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow\) SP là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD) hay \(\widehat{CSP}=\phi\) 

\(AC=a\sqrt{5}\Rightarrow SC=\sqrt{SO^2+\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\); \(SP=MC=\dfrac{BC}{2}=a\)

\(\Rightarrow CP=\sqrt{SC^2-SP^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(sin\phi=\dfrac{CP}{SC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)