Bài 1: Vectơ trong không gian

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mai Anh

Cho tứ diện ABCD đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD.

a) Chứng minh AG\(\perp\) CD

b) Gọi M là trung điểm của CD . Tính góc giữa AC và BM .  

Hồng Phúc
18 tháng 3 2022 lúc 15:16

Hồng Phúc
18 tháng 3 2022 lúc 15:24

a, Tứ diện ABCD đều cạnh a.

Đặt \(\vec{AB}=\vec{x};\vec{AC}=\vec{y};\vec{AD}=z\)

\(\Rightarrow\vec{x}.\vec{y}=\vec{y}.\vec{z}=\vec{z}.\vec{x}=\dfrac{a^2}{2}\)

\(\Rightarrow\vec{CD}=\vec{AD}-\vec{AC}=\vec{z}-\vec{y}\)

\(\vec{AG}=\vec{AB}+\vec{BG}\)

\(=\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\vec{BD}+\vec{BC}\right)\)

\(=\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\vec{AD}-\vec{AB}+\vec{AC}-\vec{AB}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}+\dfrac{1}{3}\vec{AD}\)

\(=\dfrac{1}{3}\vec{x}+\dfrac{1}{3}\vec{y}+\dfrac{1}{3}\vec{z}\)

\(\Rightarrow\vec{CD}.\vec{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\vec{z}-\vec{y}\right)\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\vec{z}\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)-\dfrac{1}{3}\vec{y}\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+a^2\right)-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a^2}{2}+a^2+\dfrac{a^2}{2}\right)\)

\(=0\)

\(\Rightarrow AG\perp CD\)

Hồng Phúc
18 tháng 3 2022 lúc 15:36

b, \(\vec{AC}.\vec{BM}=\vec{AC}.\dfrac{1}{2}\left(\vec{BC}+\vec{BD}\right)\)

\(=\vec{AC}.\dfrac{1}{2}\left(\vec{AC}-\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AB}\right)\)

\(=\vec{y}.\dfrac{1}{2}\left(\vec{y}-2\vec{x}+\vec{z}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(a^2-a^2+\dfrac{a^2}{2}\right)\)

\(=\dfrac{a^2}{4}\)

\(\Rightarrow cos\left(\vec{AC};\vec{BM}\right)=\dfrac{\vec{AC}.\vec{BM}}{AC.BM}=\dfrac{\dfrac{a^2}{4}}{\dfrac{a.a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow cos\left(AC;BM\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)


Các câu hỏi tương tự
Mai Anh
Xem chi tiết
B.Trâm
Xem chi tiết
Vũ Lam Chi
Xem chi tiết
Julian Edward
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
nguyen thi khanh nguyen
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Kimmm
Xem chi tiết