Question

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường cao AE, BF, CG cắt nhau tại H (với E thuộc BC, F thuộc AC, G thuộc AB).

1) Chứng minh các tứ giác AFHG và BGFC là các tứ giác nội tiếp.

2) Gọi I và M lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp của tứ giác AFHG và BGFC. Chứng minh MG là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.

Answer 1

1) Tứ giác AFHG có ∠AGH + ∠AFH = 180⁰ ⇒ Là tứ giác nội tiếp

Tứ giác BGFC có hai góc BGC và BFC bằng nhau cùng nhìn cạnh BC

⇒ Tứ giác BGFC nội tiếp

2) Dễ chứng minh I là trung điểm AH, M là trung điểm BC

⇒ IA = IG = IH; MC = MG = MB

⇒ ∠IGM = ∠IMG; ∠MGB = ∠MBg

Dễ chứng minh ΔAGH~ΔCGB(g.g)

⇒ ∠IGH = ∠AHG = ∠CBG = ∠MGB

⇒ ∠IGH + ∠CGM = ∠MGB + ∠CGM = 90⁰

⇒ MG vuông góc với bán kính IG của đường tròn tâm I

⇒ MG là tiếp tuyến của đường tròn