Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên tia đói của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE
a) Chứng minh DE//BC
b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC chứng minh DM = EM
c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân
d) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAC
a, T.g ABC cân ở A => góc ABC=(180 độ - góc A) : 2 (1)
Do AB=AC(gt)
BD=CE(gt)
=> AB+BD=AC+CE
hay AD=AE
=>T.g ADE cân ở A => góc D = (180 độ - góc A) : 2 (2)
Từ 1 và 2 => góc ABC = góc D và 2 góc ở vị trí đồng vị nên BC//DE
b,Do t.g ABC cân ở A => góc B1 = góc C1
mà góc B1 = góc B2 ( đối đỉnh )
góc C1 = góc C2 (đối đỉnh)
=> góc B2 = góc C2
Xét t.g DMB và t.g ENC ( góc M = góc N = 90 độ )
góc B2 = góc C2 ( chứng minh trên )
BD=CE ( giả thuyết )
=> T.g DMB = T.g ENC ( cạnh huyền - góc nhọn )
=> DM=EN ( 2 cạnh tương ứng )
c, Vì t.g DMB = t.g ENC (cmt)
=> BM=CN (hai cạnh tương ứng )
Ta có góc B1+ góc ABM = góc C1 + góc ACN = 180 độ
Mà góc B1 = góc C1 ( đã c/m )
=> góc ABM = góc ACN
Xét t.g ABM và t.g ACN có
AB=AC (gt)
góc ABM = góc ACN (cmt)
BM=CN (cmt )
=> t.g ABM = t.g ACN (c.g.c)
=> AM=AN (hai cạnh tương ứng )
Vậy t,g AMN cân tại A
d, Vì t.g ABM = t.g ACN (cmt )
=> góc HAB = góc KAC (hai góc tương ứng )
Xét t.g AHB và t.g AKC có ( góc AHB = góc AKC = 90 độ )
AB=AC (gt)
góc HAB = góc KAC (cmt )
=> t.g AHB = t.g AKC ( cạnh huyền - góc nhọn )
=> AH=AK ( 2 cạnh tương ứng )
Xét t.g AHI và t.g AKI có ( góc AHI = góc AKI = 90 độ )
cạnh AI chung
AH=AK (cmt )
=> t.g AHI = t.g AKI ( cạnh huyền - góc nhọn )
=> góc HAI = góc KAI ( 2 góc tương ứng )
=> AI là phân giác góc MAN (3)
Do góc HAI = góc KAI ( đã c/m )\
góc HAB = góc KAC (đã c/m)
=> góc HAI - góc HAB = góc KAI - góc KAC
Hay góc BAI = góc CAI
=> AI là phân giác góc BAC (4) \
Từ 3 và 4 => AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và MAN
Hình thì mik gửi ở dưới nhé
Bạn ơi nhớ tick cho mik nhé mik làm cực lắm :(
a) Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB+BD=AD\\AC+CE=AE\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\BD=CE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(AD=AE.\)
=> \(DE\) // \(BC.\)
b) Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=\widehat{MBD}\\\widehat{ACB}=\widehat{NCE}\end{matrix}\right.\) (vì các góc đối đỉnh).
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(BDM\) và \(CEN\) có:
\(\widehat{BMD}=\widehat{CNE}=90^0\left(gt\right)\)
\(BD=CE\left(gt\right)\)
\(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta BDM=\Delta CEN\) (cạnh huyền - góc nhọn).
=> \(DM=EN\) (2 cạnh tương ứng).
c) Theo câu b) ta có \(\Delta BDM=\Delta CEN.\)
=> \(BM=CN\) (2 cạnh tương ứng).
+ Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0\\\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\end{matrix}\right.\) (các góc kề bù).
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(ABM\) và \(ACN\) có:
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)
\(BM=CN\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c-g-c\right)\)
=> \(AM=AN\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\Delta AMN\) cân tại \(A.\)
Chúc bạn học tốt!
