Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Gọi M,N lần lượt là điểm đối xứng với D qua AB và AC. DM cắt AB tại E, DN cắt AC tại F
a, Tứ giác AEDF là hình gì ? Tại sao ?
b, Chứng minh M đối xứng với N qua A
c, Tứ giác BMNC là hình gì?Tại sao?

Answer 1

a: Vì D và M đối xứng nhau qua AB

nên AB là đường trung trựccủa DM

=>AB vuông góc với DM và AD=AM

=>ΔADM cân tại A

=>AB là phân giác của góc DAM(1)

Vì D và N đối xứng nhau qua AC

nên AC là trung trực của DN

=>AC vuông góc với DN và AD=AN

=>ΔADN cân tại A

=>AC là phân giác của góc DAN(2)

Xét tứ giác AEDF có góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ

nên AEDF là hình chữ nhật

b: Từ (1) và (2) suy ra góc MAN=2*90=180 độ

=>M,A,N thẳng hàng

mà MA=AN

nên A là trung điểm của MN

c: Xét ΔADB và ΔAMB có

AD=AM

góc DAB=góc MAB

AB chung

Do đó: ΔADB=ΔAMB

=>góc AMB=90 độ

=>BM vuông góc với MN(3)

Xét ΔADC và ΔANC có

AD=AN

góc DAC=góc NAC

AC chung

Do đó: ΔADC=ΔANC

=>góc ADC=góc ANC=90 độ

=>CN vuông góc với NM(4)

Từ (3) và (4) suy ra BMNC là hình thang vuông