a) Xét tứ giác AHDE có
\(\widehat{DAE}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), D∈AB, E∈AC)
\(\widehat{ADH}=90^0\)(HD⊥AB)
\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AC)
Do đó: AHDE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Xét ΔCEH vuông tại E có EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CH(M là trung điểm của CH)
nên \(EM=\dfrac{CH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(MH=CM=\dfrac{CH}{2}\)(M là trung điểm của CH)
nên EM=MH=CM
Xét ΔEMH có ME=MH(cmt)
nen ΔEMH cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)
Gọi O là giao điểm của AH và DE
Ta có: AEHD là hình chữ nhật(cmt)
nên hai đường chéo AH và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình chữ nhật)
mà AH cắt DE tại O
nên O là trung điểm chung của AH và DE
⇒\(AO=OH=\dfrac{AH}{2}\) và \(EO=DO=\dfrac{ED}{2}\)
mà AH=ED(cmt)
nên AO=OH=EO=DO
Xét ΔOHE có OE=OH(cmt)
nên ΔOHE cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\)(hai góc ở đáy)
Ta có: \(\widehat{MEO}=\widehat{MEH}+\widehat{OEH}\)(tia EH nằm giữa hai tia EM,EO)
mà \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)(cmt)
và \(\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\)(cmt)
nên \(\widehat{MEO}=\widehat{MHE}+\widehat{OHE}\)
mà \(\widehat{MHE}+\widehat{OHE}=\widehat{MHO}\)(tia HE nằm giữa hai tia HO và HM)
nên \(\widehat{MEO}=\widehat{MHO}\)
\(\Rightarrow\widehat{MED}=\widehat{CHA}\)
mà \(\widehat{CHA}=90^0\)(AH⊥BC)
nên \(\widehat{MED}=90^0\)
Xét ΔMED có \(\widehat{MED}=90^0\)(cmt)
nên ΔMED vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)
c) Để DE=2EM thì AH=HC(AH=DE và HC=2EM)
Xét ΔAHC vuông tại H có AH=HC(cmt)
nên ΔAHC vuông cân tại H(Định nghĩa tam giác vuông cân)
hay \(\widehat{C}=45^0\)
Vậy: ΔABC phải có thêm điều kiện \(\widehat{C}=45^0\) thì DE=2EM
