Question

CHO TAM GIÁC ABC nhọn, các đường thẳng AD, BE, CF cắt nhau tại H

CMR : a, AE \(\times\)AC=AF \(\times\)AB

b, BH \(\times\)BE=BD \(\times\)BC

c, AH \(\times\)DH=BH\(\times\)EH=CH\(\times\)HE

d, BH\(\times\)BE +CH \(\times\)CF=BC²

Answer 1

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

góc BAE chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC

SUy ra:AE/AF=AB/AC

hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)

b: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

góc EBC chung

Do đó; ΔDBH\(\sim\)ΔEBC

SUy ra: BD/BE=BH/BC

hay \(BD\cdot BC=BH\cdot BE\)

c: Xét ΔHFA vuông tại F và ΔHDC vuông tại D có

\(\widehat{AHF}=\widehat{CHD}\)

Do đó: ΔHFA\(\sim\)ΔHDC

Suy ra: HF/HD=HA/HC

hay \(HF\cdot HC=HD\cdot HA\left(1\right)\)

Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tạiE có

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)

Do đó: ΔHFB\(\sim\)ΔHEC
Suy ra: HF/HE=HB/HC

hay \(HF\cdot HC=HB\cdot HE\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(HA\cdot HD=HB\cdot HE=HC\cdot HF\)