a, Vì AH là đường cao của ΔABC
⇒ AH ⊥ BC
⇒ \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\)
Vì M là hình chiếu của H trên AB
⇒ HM ⊥ AB
⇒ \(\widehat{AMH}=\widehat{BMH}=90^0\)
Vì N là hình chiếu của H trên AC
⇒ HN ⊥ AC
⇒ \(\widehat{ANH}=\widehat{CNH}=90^0\)
ΔAHN và ΔACH có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A_1}\text{ chung}\\\widehat{ANH}=\widehat{AHC}=90^0\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔAHN ~ ΔACH (g.g)(đpcm)
b,
- Định lí Pitago vào Δvuông AHC
⇒ HC = √5 (cm)
- Định lí Pitago vào Δvuông AHB
⇒ HB = 9 (cm)
Vậy BC = √5 + 9 (cm)
c, Vì ΔAHN ~ ΔACH
⇒ \(\frac{AH}{AC}=\frac{AN}{AH}\)
⇒ AH2 = AN . AC (1)
ΔAHM và ΔABH có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMH}=\widehat{AHB}=90^0\\\widehat{A_1}\text{ chung}\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔAHM ~ ΔABH (g.g)
⇒ \(\frac{AH}{AB}=\frac{AM}{AH}\)
⇒ AH2 = AM . AB (2)
Từ (1), (2) ⇒ AM . AB = AN . AC
⇒ \(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
ΔAMN và ΔACB có
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\\\widehat{BAC}\text{ chung}\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔAMN ~ ΔACB (c.g.c)(đpcm)
d, Vì AH2 = AN . AC
⇒ AN = 122 : 13
⇒ AN = \(\frac{144}{13}\) (cm)
Vì ΔAMN ~ ΔACB
⇒ \(\frac{AN}{AB}=\frac{MN}{BC}\)
⇒ MN = (\(\frac{144}{13}\): 15) . (√5 + 9) \(\approx\) 8,3 (cm)
