Lời giải:
a) Vì $P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$ nên $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$
$\Rightarrow PQ\parallel BC$
Mà $BE, CF\perp PQ$ nên $BE, CF\perp BC$
$\Rightarrow \widehat{EBC}=\widehat{FCB}=90^0$
Tứ giác $BCFE$ có tất cả các góc đều vuông nên là hình chữ nhật (đpcm)
b)
Kẻ $AK\perp PQ$ ($K\in PQ$)
$\Rightarrow AK\parallel BE, CF$. Áp dụng định lý Talet:
$\frac{BE}{AK}=\frac{PE}{PK}=\frac{PB}{PA}=1$ (do $P$ trung điểm $AB$)
$\frac{CF}{AK}=\frac{QF}{QK}=\frac{QC}{QA}=1$ (do $Q$ trung điểm $AC$)
Do đó:
$\frac{S_{PEB}}{S_{APK}}=\frac{BE.BE}{AK.PK}=1$
$\frac{S_{CQF}}{S_{AQK}}=\frac{CF.QF}{AK.QK}=1$
$\Rightarrow S_{PEB}=S_{APK}; S_{CQF}=S_{AQK}$
$\Rightarrow S_{PEB}+S_{CQF}+S_{PQCB}=S_{APK}+S_{AQK}+S_{PQCB}$
hay $S_{BCFE}=S_{ABC}$ (đpcm)
