Bài 9: Hình chữ nhật

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Ngọc Hà
Cho tam giác ABC, góc A bằng 90 độ, đường cao AH. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Tứ giác EAFH là hình gì?
b) Qua A kẻ đường vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh: I là trung điểm của BC
Giúp em câu b với ạ
Nguyễn Lê Phước Thịnh
6 tháng 12 2020 lúc 13:38

a) Xét tứ giác AFHE có

\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)

\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AB)

\(\widehat{AFH}=90^0\)(HF⊥AC)

Do đó: AFHE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC)

nên \(\widehat{B}+\widehat{BAH}=90^0\)(Hai góc nhọn phụ nhau)(1)

Ta có: tia AH nằm giữa hai tia AB,AF

nên \(\widehat{BAH}+\widehat{HAF}=\widehat{BAF}\)

hay \(\widehat{BAH}+\widehat{HAF}=90^0\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{B}=\widehat{HAC}\)(3)

Gọi D là giao điểm của EF và AH

Ta có: AEHF là hình chữ nhật(cmt)

nên Hai đường chéo AH và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình chữ nhật)

mà AH cắt EF tại D(theo cách gọi)

nên \(AD=DH=\frac{AH}{2}\)\(DE=DF=\frac{FE}{2}\)

mà AH=FE(cmt)

nên AD=DH=DE=DF

hay DA=DF

Xét ΔDAF có DA=DF(cmt)

nên ΔDAF cân tại D(Định nghĩa tam giác cân)

\(\widehat{DAF}=\widehat{DFA}\)(hai góc ở đáy)

hay \(\widehat{HAC}=\widehat{AFE}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{AFE}=\widehat{B}\)(5)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)(6)

Gọi O là giao điểm của AI và EF

Vì AI⊥EF nên AO⊥OF tại O

Xét ΔAOF có AO⊥OF tại O(cmt)

nên ΔAOF vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)

\(\widehat{OAF}+\widehat{AFO}=90^0\)(Hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{IAC}+\widehat{AFE}=90^0\)(7)

Từ (5), (6) và (7) suy ra \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)(10)

Xét ΔICA có \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)(cmt)

nên ΔICA cân tại I(Định nghĩa tam giác cân)

⇒IA=IC(8)

Ta có: tia AI nằm giữa hai tia AB,AC

nên \(\widehat{IAB}+\widehat{IAC}=\widehat{BAC}\)

hay \(\widehat{IAB}+\widehat{IAC}=90^0\)(9)

Từ (6), (9) và (10) suy ra \(\widehat{IAB}=\widehat{B}\)

Xét ΔIAB có \(\widehat{IAB}=\widehat{B}\)(cmt)

nên ΔIAB cân tại I(Định nghĩa tam giác cân)

⇒IA=IB(11)

Từ (8) và (11) suy ra IB=IC

mà I,B,C thẳng hàng

nên I là trung điểm của BC

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
bin01985
Xem chi tiết
Hoà Nguyễn
Xem chi tiết
nguyen thao anh
Xem chi tiết
Hoài An
Xem chi tiết
Quyên Smâu
Xem chi tiết
Việt Anh
Xem chi tiết
Trần Lê Gia Bảo
Xem chi tiết
09. Cao Ánh Dương
Xem chi tiết
Quang Thắng
Xem chi tiết
nmtrang
Xem chi tiết