Cho tam giác ABC , đường cao AH (H thuộc BC) , với AB<AC . Gọi hình chiếu của H lên các đoạn thẳng AB,AC lần lượt là M và N
a, C/M tam giác AHM ∼ ABH .Từ đó C/M AH^2 =AM.AB
b,C/M AM.AB=AN.AC .Từ đó C/M △ AMN ∼ △ACB
c, Giả sử △ABC vuông tại A và △ ABC
d, C/M 4 đường trung trực của các đường thẳng BM , MN , NC , CB đồng quy lại một điểm
a) Xét ΔAHM và ΔABH có
\(\widehat{AMH}=\widehat{AHB}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{MAH}\) chung
Do đó: ΔAHM∼ΔABH(g-g)
⇒\(\frac{AH}{AB}=\frac{AM}{AH}\)
hay \(AH^2=AM\cdot AB\)(đpcm)(1)
b) Xét ΔANH và ΔAHC có
\(\widehat{ANH}=\widehat{AHC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{NAH}\) chung
Do đó: ΔANH∼ΔAHC(g-g)
⇒\(\frac{AH}{AC}=\frac{AN}{AH}\)
hay \(AH^2=AC\cdot AN\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
hay \(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Xét ΔAMN và ΔACB có
\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)(cmt)
\(\widehat{NAM}\) chung
Do đó: ΔAMN∼ΔACB(c-g-c)
