Lời giải:
Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ $(H\in BC$). Vì tam giác $ABC$ đều nên $H$ đồng thời cũng là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow \overrightarrow{HB},\overrightarrow{HC}$ là 2 vecto đối.
$\Rightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$
Ta có:
\(|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}|\)
\(=|2\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{0}|=2|\overrightarrow{AH}|=2\sqrt{AB^2-BH^2}=2\sqrt{AB^2-(\frac{BC}{2})^2}\)
\(=2\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{3}a\) (theo định lý Pitago)
Tam giác ABC đều có đường cao AH. Dựng hình bình hành ABIC
Ta có: \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AI}\right|=AI\) ( qui tắc hình bình hành )
Ta có: AI = 2AH
\(\Rightarrow AI=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\) ( \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) là đường cao trong tam giác đều )
Vậy \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=a\sqrt{3}\)
