Question

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn dựng tam giác ABD và tam giác ACE tương ứng vuông cân tại B và C gọi I là trung điểm của DE chứng minh rằng tam giác IBC vuông cân tại I

Answer 1

Giải:

Kẻ \(DK\perp BC,EF\perp BC,AN\perp BC,IH\perp BC\)

Dễ cm được \(\Delta DKB=\Delta BNA\) ( c.huyền - g.nhọn )

\(\Rightarrow DK=BN,KB=AN\)

Tương tự, \(CF=AN,EF=CN\)

Do ID = IE, IH // DK // EF \(\left(\perp BC\right)\)

\(\Rightarrow\)I là đường trung bình hình thang DEFK

\(\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}\left(DK+EF\right)=\dfrac{1}{2}BC\) và HK = HF

Do \(IH=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta IBC\) vuông tại I (1)

Tự CM BH = HC (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\Delta IBC\) vuông cân tại I ( đpcm )

Answer 2

Cách khác:

Lấy F, H lần lượt là tđ của AD; AE

Nối FI; IH; BF; CH.

C/m: BF = IH (= AF)

FI = CH (= AH)

C/m: AHIF là hình bình hành => \(\widehat{IFA}=\widehat{IHA}\)

\(\Rightarrow90^o-\widehat{IFA}=90^o-\widehat{IHA}\)

\(\Rightarrow\widehat{BFI}=\widehat{CHI}\)

Xét \(\Delta BFI;\Delta IHC:\) có:

BF = IH (c/m trên)

\(\widehat{BFI}=\widehat{CHI}\) (c/m trên)

FI = CH (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta BFI=\Delta IHC\left(c.g.c\right)\)

=> BI = IC

=> \(\Delta IBC\) cân tại I