Question

Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC,AB

a) CM: BM=CN và góc ABM=góc ACN

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN.Chứng minh tam giác IBC cân

c) CM: AI là tia phân giác của góc A

d) CM: AI vuông góc với BC

Answer 1

Hình tự vẽ.

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow AB=AC\) và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

hay \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)

Ta có: AN = NB = \(\frac{1}{2}AB\) (N là tđ)

AM = MC = \(\frac{1}{2}AC\) (M là tđ)

\(\Rightarrow AN=NB=AM=MC\)

Xét \(\Delta NBC\) và \(\Delta MCB\) có:

NB = MC (c/m trên)

\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\) (c/m trên)

BC chung

\(\Rightarrow\Delta NBC=\Delta MCB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow NC=MB\) (2 cạnh t/ư)

và \(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) (2 góc t/ư)

Lại có: \(\widehat{ABM}+\widehat{MBC}=\widehat{ABC}\)

\(\widehat{ACN}+\widehat{NCB}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) ; \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) b) Ta có: \(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) (câu a) hay \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\) Do đó \(\Delta IBC\) cân tại I. c) Do \(\Delta NBC=\Delta MCB\) \(\Rightarrow\widehat{BNC}=\widehat{CMB}\) (2 góc t/ư) hay \(\widehat{BNI}=\widehat{CMI}\) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có: AM = AN (câu a) \(\widehat{A}\) \(chung\) AB = AC (câu a) \(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (2 góc t/ư) hay \(\widehat{NBI}=\widehat{MCI}\) Xét \(\Delta BNI\) và \(\Delta CMI\) có:

\(\widehat{NBI}=\widehat{MCI}\) (c/m trên)

NB = MC (câu a)

\(\widehat{BNI}=\widehat{CMI}\) (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta BNI=\Delta CMI\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow NI=MI\) (2 cạnh t/ư)

Xét \(\Delta\)NAI và \(\Delta MAI\) có:

AN = AM (câu a)

AI chung

NI = MI (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta\)NAI = \(\Delta MAI\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NAI}=\widehat{MAI}\) (2 góc t/ư)

Do đó AI là tia pg của \(\widehat{A}\).

d) Gọi giao điểm của AI và CB là D

Ta lại có: \(\widehat{NAI}=\widehat{MAI}\)

hay \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có:

AB = AC (câu a)

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (c/m trên)

AD chung

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\) (2 góc t/ư)

mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\) = \(\frac{180^o}{2}=90^o\)

Do đó AI \(\perp BC.\)