a) Ta có: \(AN=BN=\frac{1}{2}AB\) (N là tđ)
\(AM=CM=\frac{1}{2}AC\) (M là tđ)
mà \(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\Rightarrow AN=BN=AM=CM\)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có:
AM = AN (c/m trên)
\(\widehat{A}\) chung
AB = AC
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow BM=CN\) và \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
b) Lại có: \(\widehat{ABC}-\widehat{ABM}=\widehat{ACB}-\widehat{ACN}\)
\(\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
\(\Rightarrow\Delta IBC\) cân tại I
c) Do \(\Delta IBC\) cân tại I
\(\Rightarrow IB=IC\)
Xét \(\Delta BAI\) và \(\Delta CAI\) có:
AB = AC
AI cạnh chung
BI = CI (c/m trên)
\(\Rightarrow\Delta BAI=\Delta CAI\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)
\(\Rightarrow AI\) là tia pg của \(\widehat{A}.\)
d) Gọi giao điểm của AI và BC là E
Ta lại có: \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (câu c)
hay \(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\)
Xét \(\Delta BEA\) và \(\Delta CEA\) có:
AB = AC
\(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\) (c/m trên)
AE cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta BEA=\Delta CEA\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BEA}=\widehat{CEA}\)
mà \(\widehat{BEA}+\widehat{CEA}=180^o\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{BEA}=\widehat{CEA}\) = \(\frac{180^o}{2}=90^o\)
\(\Rightarrow AE\perp BC\) hay \(AI\perp BC\)
xét tam giác ABM VÀ TAM GIÁC ANC CÓ
AN=MB (GT)
AM=MC (GT)
\(\widehat{A}\) CHUNG
=>\(\Delta AMB=\Delta ANC\left(cgc\right)\)
=>BM=CN (cạnh tương ứng)
=>\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
B'XÉT \(\Delta INB\) VÀ \(\Delta IMC\) CÓ'
BM=CN (theo a)
\(\widehat{NIB}=\widehat{MIC}\) (đối đỉnh)
\(\widehat{I}\) CHUNG
=>\(\Delta INB=\Delta MIC\left(gcg\right)\)
=>IB=IC (cạnh tương ứng)
=>\(\Delta IBC\) CÂN TẠI I
C; HAI \(\Delta ANI\) VÀ \(\Delta IMA\) CÓ
IN=IM VÌ \(\Delta INM=\Delta IMC\)
\(\widehat{A}\) CHUNG
AI LÀ CẠNH CHUNG
=>TAM GIÁC AIN = TAM GIÁC AMI (CGC)
=>\(\widehat{IAN}=\widehat{IAM}\)=>AI LÀ P/G CỦA GÓC \(\widehat{BAC}\)
D;
