Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

a) chứng minh tam giác AMN cân.b) kẻ BE vuông góc AM, CF vuông góc AN. chứng minh tam giác BME = tam gác CNF. c) EB và FC kéo dài cắt nhau tại O . chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN.

Answer 1

a: Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

BM=CN

Do đó: ΔABM=ΔACN

=>AM=AN

=>ΔAMN cân tại A

b: Xét ΔEMB vuông tại E và ΔFNC vuông tại F có

BM=CN

\(\widehat{EMB}=\widehat{FNC}\)(ΔAMN cân tại A)

Do đó: ΔEMB=ΔFNC

c: Ta có: \(\widehat{EBM}=\widehat{OBC}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{FCN}=\widehat{OCB}\)(hai góc đối đỉnh)

mà \(\widehat{EBM}=\widehat{FCN}\)(ΔEBM=ΔFCN)

nên \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

=>OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC

=>AO\(\perp\)MN

Ta có: ΔAMN cân tại A

mà AO là đường cao

nên AO là phân giác của góc MAN