Question

cho tam giác abc cân tại A ,đương trung tuyến AM .Goi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua I.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMKC là hình chữ nhật

b)Tính diện tích của hinh chữ nhật AMKC biết AB=10cm, BC=10cm

c) Tim điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMKC là hình vuông

Answer 1

a) Xét tứ giác AKCM có:

IA = IC (I là trung điểm AC (gt))

IM = IK (K đối xứng với M qua I (gt))

AC giao MK tại I

\(\Rightarrow\)Tứ giác AKCM là hình bình hành (dhnb) (1)

Xét \(\Delta AMC\) có \(\widehat{AMC} = 90^0\)

MI là đường trung tuyến (I là trung điểm AC (gt))

\(\Rightarrow MI=\frac{1}{2}AC\) (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

mà \(MI=\frac{1}{2}MK\)

\(\Rightarrow\) MK = AC (2)

Từ (1)(2)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AKCM là hình chứ nhật

b) Do AM là đường trung tuyến (gt)

\(\Rightarrow\) \(MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot10=5\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta AMC\) có \(\widehat{AMC} = 90^0\)

\(\Rightarrow AC^2=AM^2+MC^2\Rightarrow AM=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow\)Diện tích tam giác ABC = \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\left(cm^2\right)\)

c) Để hình chữ nhật AMCK là hình vuông

\(\Leftrightarrow AM=MC\) (Vì \(MC=\frac{1}{2}BC\))

\(\Leftrightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)

\(\Leftrightarrow\) Tam giác ABC vuông tại A (vì tam giác ABC cân tại A)

\(\Leftrightarrow\) Tam giác ABC vuông cân tại A