Cho tam giác ABC cân tại A, có cạnh BC là cạnh lớn nhất. Các đường trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MG lấy điểm D sao cho M là trung điểm của đoạn GD.
1. Chứng minh ∆BMG = ∆CMD, từ đó chứng minh BG song song với CD.
2. Chứng minh 3CD = 2BN.
3. Chứng minh CN < CD
1: Xét ΔBMG và ΔCMD có
BM=CM(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
\(\widehat{BMG}=\widehat{CMD}\)(hai góc đối đỉnh)
GM=DM(M là trung điểm của GD)
Do đó: ΔBMG=ΔCMD(c-g-c)
⇒\(\widehat{GBM}=\widehat{DCM}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{GBM}\) và \(\widehat{DCM}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên BG//DC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
2: Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)
BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)
AM\(\cap\)BN={G}
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(định lí ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒\(AG=\frac{2}{3}AM\)(tính chất)(1)
Ta có: AG+GM=AM(G nằm giữa A và M)
hay \(GM=AM-AG=AM-\frac{2}{3}AM=\frac{1}{3}AM\)
mà GD=2GM(M là trung điểm của GD)
nên \(GD=2\cdot\frac{1}{3}AM=\frac{2}{3}AM\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AG=GD
mà A,G,D thẳng hàng(A,G,M,D thẳng hàng)
nên G là trung điểm của AD
Xét ΔADC có
G là trung điểm của AD(cmt)
N là trung điểm của AC(BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC của ΔABC)
Do đó: GN là đường trung bình của ΔADC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒GN//DC và \(GN=\frac{DC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)
Ta có: G là trọng tâm của ΔABC(cmt)
⇒\(GN=\frac{1}{3}BN\)(tính chất)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{DC}{2}=\frac{1}{3}BN\)
⇔\(\frac{DC}{2}=\frac{BN}{3}\)
hay \(3\cdot CD=2\cdot BN\)(ddpcm)
