Question

Cho tam giác ABC cân có AB=AC.Kẻ AH\(\perp\) BC(H\(\in\)BC),kẻ HD\(\perp\)AB(D\(\in\)AB),kẻ HE\(\perp\)AC(E\(\in\)AC).Chứng minh rằng:

a)HB=HC

b)Tam giác HDE là tam giác cân

c)DE song song với BC

Answer 1

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC(do ΔABC cân tại A)

AH là cạnh chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒HB=HC(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔHDB vuông tại D và ΔHEC vuông tại E có

HB=HC(cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔHDB=ΔHEC(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒HD=HE(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔHDE có HD=HE(cmt)

nên ΔHDE cân tại H(định nghĩa tam giác cân)

c) Ta có: ΔHDB=ΔHEC(cmt)

⇒BD=EC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: BD+AD=AB(do A,D,B thẳng hàng)

EC+AE=AC(do A,E,C thẳng hàng)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

và BD=EC(cmt)

nên AD=AE

Xét ΔADE có AD=AE(cmt)

nên ΔADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{ADE}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔADE cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ADE}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên DE//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Answer 2

b) Theo câu a) ta có \(\Delta AHB=\Delta AHC.\)

c) Theo câu b) ta có \(\Delta ADH=\Delta AEH.\)