Cho tam giác ABC , các đường cao BD , CE cắt nhau tại H . Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K . Gọi M là trung điểm của BC. CMR :
a) tam giác ADB đồng dạng tam giác AED , tam giác AED đồng dạng tam giác ACB
b) HE . HC = HD . HB
c) H , M , K thẳng hàng
d) tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BACK sẽ là hình thoi ? , Hình chữ nhật ?
a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
góc DAB chung
DO đó:ΔADB\(\sim\)ΔAEC
Suy ra: AD/AE=AB/AC
hay AD/AB=AE/AC
Xét ΔADE và ΔABC có
AD/AB=AE/AC
góc DAE chung
Do đó: ΔADE\(\sim\)ΔABC
b: Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHDC vuông tại D có
\(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\)
Do đó: ΔHEB\(\sim\)ΔHDC
Suy ra: HE/HD=HB/HC
hay \(HE\cdot HC=HB\cdot HD\)
c: Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
Suy ra: Hai đường chéo BC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
hay H,M,K thẳng hàng
