Question

*Cho pt: -x² - (m-3)x+m=0 (m là tham số)

a)Tìm giá trị của m để pt có hai nghiệm thỏa \(x_1^2x_2+x_1x^2_2=x_1+x_2+4\)

b)Tính theo m: \(\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{2}{x_2}\); \(\dfrac{4x_2}{x_1}+\dfrac{4x_1}{x_2}\); \(x_1^3+x_2^3\)

c)Tính m để A=\(|x_1-x_2|\)+1 đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

b: \(PT\Leftrightarrow x^2+\left(m-3\right)x-m=0\)

\(\text{Δ}=\left(m-3\right)^2+4m\)

\(=m^2-6m+9+4m\)

\(=m^2-2m+1+8=\left(m-1\right)^2+8>0\)

Do đó: PT luon có hai nghiệm phân biệt

\(\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{2}{x_2}=\dfrac{2x_1+2x_2}{x_1x_2}=\dfrac{2\cdot\left(-m+3\right)}{-m}=\dfrac{-2m+6}{-m}\)

\(\dfrac{4x_2}{x_1}+\dfrac{4x_1}{x_2}=\dfrac{4\left(x_1^2+x_2^2\right)}{x_1x_2}\)

\(=\dfrac{4\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}{x_1x_2}=\dfrac{4\left(-m+3\right)^2-8\cdot\left(-m\right)}{-m}\)

\(=\dfrac{4\left(m-3\right)^2+8m}{-m}\)

\(=\dfrac{4m^2-24m+36+8m}{-m}=\dfrac{4m^2-16m+36}{-m}\)

c: \(A=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}+1\)

\(=\sqrt{\left(-m+3\right)^2-4\cdot\left(-m\right)}+1\)

\(=\sqrt{m^2-6m+9+4m}+1\)

\(=\sqrt{m^2-2m+1+8}+1\)

\(=\sqrt{\left(m-1\right)^2+8}+1\ge2\sqrt{2}+1\)

Dấu '=' xảy ra khi m=1