Question

Cho phương trình: \(x^2-2mx+m^2-m+3=0\) có hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\). Tìm m để biểu thức \(x_1^2\)+\(x_2^2\) có GTNN

Answer 1

△' = (-m)² - (m² - m + 3) = m² - m² + m -3 = m - 3

Để pt có hai nghiệm x₁; x₂ thì △' ≥ 0 ⇔ m - 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ 3

Áp dụng hệ thức Vi-et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+3\end{matrix}\right.\)

Theo đề ta có x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ = (2m)² - 2(m² - m + 3)

= 4m² - 2m² + 2m - 6 = 2m² + 2m - 6

= 2(m² + m - 3) = 2(m² + 2*m*\(\frac{1}{2}\)+ \(\frac{1}{4}\)- \(\frac{11}{4}\))

= 2(m+\(\frac{1}{2}\))² - \(\frac{11}{2}\)≥ -\(\frac{11}{2}\)

Vậy biểu thức đã cho có GTNN là \(-\frac{11}{2}\)khi m=-\(\frac{1}{2}\)mà m≥3

⇒m=3 thì biểu thức có GTNN là 19