Question

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh p²+2018 là hợp số

Answer 1

Vì: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3

xét 3 số tự nhiên liên tiếp: p-1,p,p+1 chắc chắn có 1 số chia hết cho 3

mà p là số nguyên tố nên: p-1 hoặc p+1 sẽ chia hết cho 3

p^2-1=(p+1)(p-1) nên: p^2-1 chia hết cho 3 nên: p^2 chia 3 dư 1

nên: p^2+2018 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số (đpcm)

Answer 2

Do p là số nguyên tố > 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k>0)

+ Với p có dạng 3k+1, ta có: \(\left(3k+1\right)^2+2018=6k+1+2018=6k+2019\)⋮3

+ Với p có dạng 3k+2, ta có:\(\left(3k+2\right)^2+2018=6k+4+2018=6k+2022\)⋮2, 3, 4, ...

Vậy, với p là số nguyên tố >3 thì \(p^2\)+2018 là hợp số