BĐT cần chứng minh tương đương:
\(x^3+y^3+z^3+6xyz\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+6xyz\ge x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\)
Mặt khác theo BĐT Schur thì:
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\).
Do đó điều trên luôn đúng. BĐT dc chứng minh.
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\). Chứng minh \(x^2y+y^2z+z^2x\le\frac{4}{27}\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge0\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\) Chứng minh \(x^2+y^2+z^2+xyz\ge4\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) Chứng minh \(0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}\)
Giải hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=6\\xy+yz+zx=12\\\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z}=3\end{matrix}\right.\)
B1: GPT
a,\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-x+y=2\\xy+x-y=-1\end{matrix}\right.\) c,\(\left\{{}\begin{matrix}x^3=5x+y\\y^3=5y+x\end{matrix}\right.\)
b,\(\left\{{}\begin{matrix}xy-x+y=-3\\x^2+y^2-x+y+xy=6\end{matrix}\right.\) d,\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^4=20\\x^4+y^2=20\end{matrix}\right.\)
Giải hpt :
1. \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy\left(2y-1\right)=2y^3-2y^2-x\\6\sqrt{x-1}+y+7=4x\left(y-1\right)\end{matrix}\right.\)
2. \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{x^2+y}+y=\sqrt{x^4+x^2}+x\\x+\sqrt{y}+\sqrt{x-1}+\sqrt{y\left(x-1\right)}=\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
3.
B1 GPT
a,\(\left\{{}\begin{matrix}x^3=5x+y\\y^3=5y+x\end{matrix}\right.\)
b,\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^4=20\\x^4+y^2=20\end{matrix}\right.\)
c,\(\sqrt{x+1}=x^2+4x+5\)
giải hệ phương trình\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy=37\\y^2+z^2+yz=19\\z^2+x^2+xz=28\end{matrix}\right.\)
Cho a,b,c>0 chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) Cho x,y,z>0 tm x+y+z=1. Tìm GTLN của bt \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
