a) Vẽ MN, CP vuông góc với BD.
Cần chứng minh:
\(IM^2+IA^2=BC^2+\frac{CD^2}{4}=AD^2+DM^2=AM^2\)
ΔBAH = ΔDCP(g.c.g) ⇒ AH = CP
MN là đường trung bình của tam giác DCP ⇒ \(MN=\frac{CP}{2}=\frac{AH}{2}\)
Dễ chứng minh ΔBAH~ΔDMN(g.g) ⇒ \(DN=\frac{BH}{2}\)
Ta có:
\(IN=IH-HN=\frac{BH}{2}-\left(DN-DH\right)=\frac{BH}{2}-\frac{BH}{2}+DH=DH\)
Do đó: \(IM^2+IA^2=AH^2+IH^2+IN^2+MN^2\)
\(=AH^2+\frac{BH^2}{4}+DH^2+\frac{AH^2}{4}=BC^2+\frac{CD^2}{4}\)\(=AM^2\) (đpcm)
(Áp dụng định lý Pytago đảo)
b) Từ phần a suy ra tam giác AIM vuông tại I
Do đó dễ chứng minh \(\frac{IK^2}{IA^2}+\frac{IK^2}{IM^2}=\frac{IM^2}{AM^2}+\frac{IA^2}{IM^2}=\frac{IM^2}{IM^2}=1\)
Suy ra đpcm
