Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = \(a \sqrt{3}\). Gọi H,I lần lượt là trung điểm của AB, BC.
a) Cmr: \(SH \perp (ABCD),(SHI) \perp (SBD) \)
b) Tính tan giữa SC và mp (ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng DI và SB
a/ AB là giao tuyến của 2 mặt phẳng vuông góc (SAB) và (ABCD)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}SH\in\left(SAB\right)\\SH\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow SH\perp BD\)
Mà \(IH//AC\) (đường trung bình) \(\Rightarrow IH\perp BD\) (do \(AC\perp BD\))
\(\Rightarrow BD\perp\left(SIH\right)\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(SIH\right)\)
b/\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow CH\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCH}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{SA^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{11}}{2}\)
\(CH=\sqrt{BC^2+BH^2}=\sqrt{BC^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(tan\widehat{SCH}=\frac{SH}{CH}=\frac{\sqrt{55}}{5}\)
c/ Kéo dài DI cắt AB tại E \(\Rightarrow BE=AB=a\)
Qua E kẻ đường thẳng song song SB cắt SH cắt dài tại F
\(\Rightarrow SB//\left(FDE\right)\Rightarrow d\left(SB;DI\right)=d\left(SB;\left(FDE\right)\right)=d\left(B;\left(FDE\right)\right)\)
Mà \(HB\) cắt (FDE) tại E, \(BE=\frac{2}{3}HE\Rightarrow d\left(B;\left(FDE\right)\right)=\frac{2}{3}d\left(H;\left(FDE\right)\right)\)
\(HF=EH.tan\widehat{FEH}=EH.tan\widehat{SBH}=\frac{EH.SH}{BH}=\frac{3a\sqrt{11}}{2}\)
Từ H kẻ HM vuông góc DE, từ H kẻ HN vuông góc FM
\(\Rightarrow HN\perp\left(FDE\right)\Rightarrow HN=d\left(H;\left(FDE\right)\right)\)
\(\frac{HM}{AD}=\frac{HE}{DE}\Rightarrow HM=\frac{AD.HE}{DE}=\frac{AD.HE}{\sqrt{AD^2+AE^2}}=\frac{3a\sqrt{5}}{10}\)
\(\frac{1}{HN^2}=\frac{1}{HF^2}+\frac{1}{HM^2}\Rightarrow HN=\frac{HF.HM}{\sqrt{HF^2+HM^2}}=\frac{3a\sqrt{154}}{56}\)
\(\Rightarrow d\left(DI;SB\right)=\frac{2}{3}HN=\frac{a\sqrt{154}}{28}\)
Bạn kiểm tra lại tính toán
