Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB= a,AD=a\(\sqrt{3}\),SD=a\(\sqrt{7}\) và SA vuông góc với đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SB.

a/ Tính góc giữa hai mp SBD và ABCD

b/Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mp MND theo a

Answer 1

Kẻ \(AH\perp BD\Rightarrow BD\perp\left(SAH\right)\Rightarrow\widehat{SHA}\) là góc giữa (SBD) và (ABCD)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{AB.AD}{\sqrt{AB^2+AD^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=2a\)

\(tan\widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\widehat{SHA}\simeq66^035'\)

b/ \(MS=MA\Rightarrow d\left(S;\left(MND\right)\right)=d\left(A;\left(MND\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AK\perp MD\Rightarrow AK\perp\left(MND\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(MND\right)\right)\)

\(AM=\frac{SA}{2}=a\Rightarrow\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AD^2}\Rightarrow AK=\frac{AM.AD}{\sqrt{AM^2+AD^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)