ta có : 3-Q=\(\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{a^2+ab+b^2}\)>=0
\(\Rightarrow\) Max Q=3
ta có : Q-\(\dfrac{1}{3}\)= \(\dfrac{2\left(a-b\right)^2}{3\left(a^2+ab+b^2\right)}\)>=0
\(\Rightarrow\)Min Q=\(\dfrac{-1}{3}\)
Hãy dùng phương pháp tập thể dục như của Hung nguyen nhé
Theo bài ra , ta có :
\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2-2ab}{a^2+ab+b^2}=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\)
Vì a,b đồng thời không bằng không ta chia cả tử và mẩu cho 2ab , ta được
\(\dfrac{2a}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a^2}{2ab}+1+\dfrac{b^2}{2ab}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\)
Vì a,b khác 0 =) a/2b , b/2a khác 0
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số a/2b , b/2a khác 0
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{2b}.\dfrac{b}{2a}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}\ge1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\le\dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\)
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\le\dfrac{1}{5}\)
\(\Rightarrow Max_Q=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2b}=\dfrac{b}{2a}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2b}-\dfrac{b}{2a}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=-b\end{matrix}\right.\)
mà a và b là hai số khác 0 =) a = b
Vậy GTLN của Q là 1/5 khi và chỉ khi a = b
Tìm Min
\(Q=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\ge1-\dfrac{2ab}{2ab+ab}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
Tìm Max
Chia cả 2 vế của Q cho b2 ta có:
\(Q=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-\dfrac{a}{b}+1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)^2+\dfrac{a}{b}+1}\)
Đặt \(x=\dfrac{a}{b}\), lúc này ta có: \(Q=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)\(=\dfrac{3x^2+3x+3-2x^2-4x-2}{x^2+x+1}=3-\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{x^2+x+1}\le3\)
Dấu "=" xảy ra khi x = -1 = \(\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow a=-b\)
e cũng góp 1 cách (nhưng của lớp 9)
\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\Leftrightarrow\left(Q-1\right)a^2+\left(Qb+b\right)a+Qb^2-b^2=0\)
phương trình ẩn a phải có nghiệm (thì mới có MIn Max )
\(\Delta=b^2-4ac=b^2\left(Q+1\right)^2-4b^2\left(Q-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow b^2\left[\left(Q+1\right)^2-4\left(Q-1\right)^2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(Q+1-2Q+2\right)\left(Q+1+2Q-2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(3-Q\right)\left(3Q-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\le Q\le3\)
dấu = xảy ra: (thay Q vừa tìm đk vào pt )
Biến đổi phân thức với biến \(x=\dfrac{a}{b}\) ta được :
\(Q=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)
Thấy : Biểu thức nhận giá trị là m khi và chỉ khi phương trình \(m=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)(*) có nghiệm .
Dễ thấy x2+x+1 > 0
Do đó (*) \(\Leftrightarrow mx^2+mx+m=x^2-x+1\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2+\left(m+1\right)x+\left(m-1\right)=0\)(**)
(+) Nếu m = 1 => (**) có nghiệm x = 0
(+) Nếu \(m\ne1\)
Để (**) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-4\left(m-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3m-1\right)\left(m-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\le m\le3\)
+ Với \(m=\dfrac{1}{3}\) => x = 1
<=> Dấu " = " xảy ra khi a=b
+ Với \(m=3\) => x = - 1
<=> Dấu " = " xảy ra khi a = - b
Vậy MinQ=\(\dfrac{1}{3}\) khi a=b ; MaxQ=3 khi a = - b
Bài này với cách làm lớp 8 thì chắc chắn không tự nhiên cho lắm . Nên áp dụng " Công thức nghiệm phương trình bậc hai " lên lớp 9 sẽ được học sẽ tìm được cả Min lẫn Max . Cái này hôm bữa mình còng soạn dở trong bài giảng .
có ai biết làm bài này bằng cách lớp 8 ko ?
Ngân làm Max nha ༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻ còn mik làm Min nha cho mik sửa 1 chút thôi
Cho mình sửa lại bài này xíu nhé =))
Ta có :
\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2-2ab}{a^2+ab+b^2}=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\)
Vì a và b là các số không âm ta chia cả tử và mẫu cho 2ab ta được :
\(\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{2a}}\)
Làm tương tự bài dưới và cuối cùng là ra \(-\dfrac{1}{3}\) nha
Cho mình xin lỗi ngonhuminh mình bị nhầm ở dòng thứ 3 do rút 2ab mà mik chỉ rút ab nên ms sai , Thứ lỗi nha đa tạ
Tớ còn cách này dễ hiểu hơn nè :
x2+x+1>0 . Ta có 2(x+1)2\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)2x2-4x+2\(\ge\) 0 \(\Rightarrow\) 3(x2 -x +1)\(\ge\) x2+x+1
\(\Rightarrow\)Q\(\ge\)\(\dfrac{1}{3}\). Min Q=\(\dfrac{1}{3}\) Tương tự Max Q=3
