Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O') cắt đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại C và D. Gọi và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh rằng:
a) Hai tam giác ABD và CBA đồng dạng
b) góc BQD = góc APB
c) Tứ giác APBQ nội tiếp một đường tròn
Lời giải:
a)
$AC$ là tiếp tuyến $(O')$
$\Rightarrow \widehat{CAB}=\widehat{ADB}(1)$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nt chắn cung đó)
$AD$ là tiếp tuyến $(O)$
$\Rightarrow \widehat{BCA}=\widehat{BAD}(2)$ (tương tự)
Từ $(1); (2)\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle CBA$ (g.g)
b)
Từ tam giác đồng dạng phần a suy ra:
$\widehat{AD}{CA}=\frac{BD}{BA}$
$\Leftrightarrow \frac{2QD}{2AP}=\frac{BD}{BA}$
$\Leftrightarrow \frac{QD}{AP}=\frac{BD}{BA}$
$\Leftrightarrow \frac{PA}{QD}=\frac{AB}{DB}$
Xét tam giác $PAB$ và $QDB$ có:
$\widehat{PAB}=\widehat{CAB}=\widehat{ADB}=\widehat{QDB}$
$\frac{PA}{QD}=\frac{AB}{DB}$ (cmt)
$\Rightarrow \triangle PAB\sim \triangle QDB$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{APB}=\widehat{DQB}$ (đpcm)
c)
Theo phần b $\widehat{APB}=\widehat{DQB}=180^0-\widehat{BQA}$
$\Rightarrow \widehat{APB}+\widehat{BQA}=180^0$
Hai góc này ở vị trí đối nhau nên $APBQ$ là tgnt (đpcm)
