Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn.các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc vs đường tròn (O) tại B và C.Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn (M khác B,C) từ M kẻ MH vuông góc BC , MK vuông góc CA,MI vuông góc AB .Chứng minh:
1.tứ giác ABOC nội tiếp
2.góc BAO = góc BCO
3.tam giác MIH đồng dạng tam giác MHK
4.MI×MK=MH BÌNH (mũ 2)
a, Xét tứ giác ABOC có\(\widehat{ABO} +\widehat{ACO} =90 ^0 +90^0 =180^0\)
=> Tứ giác ABOC nội tiếp
b, Ta có tứ giác ABOC nội tiếp
=> \(\widehat{BAO} =\widehat{BCO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cuung OB)
c, Xét tứ giác KMHB có \(\widehat{BKH}+\widehat{MHB} = 90^0+90^0=180^0\)
=> Tứ giác KMHB nội tiếp => \(\widehat{MKH} =\widehat{MBH}\) và \(\widehat{KMH}+\widehat{KBH}=180^0\)
Mà \(\widehat{MBH}=\widehat{MBC}=\widehat{ICM}\)( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC)
Và \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC} => \widehat{KMH}=\widehat{IHM}\)
=> \(\bigtriangleup{MIH}\) ~ \(\bigtriangleup{MHK} (g.g)\)
d, Ta có : \(\bigtriangleup{MIH}\) ~ \(\) \(\bigtriangleup{MHK} \) => \(\dfrac{MI}{MH}=\dfrac{MH}{MK}⇒MI.MK=MH^2\)
