Cho đường tròn (O) đường kính AB.Từ một điểm C thuộc đường tròn (O) kẻ CH vuông góc AB tại H (H khác A và B). Đường tròn (C;CH) cắt đường tròn (O) tại D và E, đường kính CM của đường tròn (O) cắt DE tại I, EM cắt AB tại K. CMR:
a. Tứ giác CHKE nội tiếp.
b. CE^2=CI*CM.
c. DE đi qua trung điểm của CH.
a) Ta có \(\widehat{CEM}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn\(\Rightarrow\widehat{CEM}=90^0\)
Xét tứ giác CHKE có \(\widehat{CEK}+\widehat{CHK}=90^0+90^0=180^0\)
Suy ra tứ giác CHKE nội tiếp
b) Ta có 2 đường tròn (O) và (C) cắt nhau tại hai điểm D và E\(\Rightarrow\)DE⊥CM hay \(\widehat{CIE}=90^0\)
Ta có △CEM vuông tại E có CI là đường cao\(\Rightarrow CE^2=CI.CM\)
c) DE cắt CH tại J
Hạ OP vuông góc CE tại P =>P trung điểm CE Xét △CIE và △CPO có: \(\widehat{C}\) chung \(\widehat{OPC}=\widehat{EIC}=90^0\) Suy ra△CIE∼△CPO(g, g) =>\(\frac{CI}{CP}=\frac{CE}{CO}\) =>\(CI.CO=CE.CP=CE.\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}CE^2\)=\(\frac{1}{2}CH^2\)(1) Ta lại có HJIO nội tiếp (vì \(\widehat{JHO}+\widehat{JIO}=180^0\))\(\Rightarrow\widehat{COJ}=\widehat{CHI}\) Và \(\widehat{C}\) chung Suy ra △CIH∼△CJO(g, g) =>\(\frac{CI}{CJ}=\frac{CH}{CO}\) =>CI .CO =CJ .CH (2) từ (1), (2)=>CJ .CH =\(\frac{1}{2}CH^2\) <=>\(CJ=\frac{1}{2}.CH\) Vậy DE đi qua trung điểm của CH
