Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A nằm ngoài đường tròn với OA = 6cm và cắt đường tròn tại I. Kẻ các tiếp
tuyến AB và AC. Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OA vuông góc BC. TÍnh OH.
b) Chứng minh tứ giác OBIC là hình thoi và tam giác BAC đều
c) Lấy điểm M thuộc đường tròn sao cho BM < MC (M nằm phía trong ABC). Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại M
cắt AB tại D, cắt AC tại E. Chứng minh DE = DB + EC
Tính chu vi ADE
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
mà OB=OC
nên OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2\)
=>\(OH\cdot6=3^2=9\)
=>OH=1,5(cm)
b: Xét ΔOBA vuông tại B có \(cosBOA=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}\)
nên \(\widehat{BOA}=60^0\)
Xét ΔOBI có OB=OI và \(\widehat{BOI}=60^0\)
nên ΔOBI đều
ΔOBI đều
mà BH là đường cao
nên H là trung điểm của OI
Xét tứ giác OBIC có
H là trung điểm chung của OI và BC
nên OBIC là hình bình hành
Hình bình hành OBIC có OB=OC
nên OBIC là hình thoi
ΔOBA vuông tại B
=>\(\widehat{BOA}+\widehat{BAO}=90^0\)
=>\(\widehat{BAO}+60^0=90^0\)
=>\(\widehat{BAO}=30^0\)
Xét ΔABC có AB=AC
nên ΔABC cân tại A
ΔABC cân tại A
mà AH là đường cao
nên AH là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAH}=60^0\)
=>ΔBAC đều
c: Xét (O) có
DB,DM là tiếp tuyến
Do đó: DB=DM
Xét (O) có
EM,EC là tiếp tuyến
=>EM=EC
DE=DM+ME
mà DM=DB và CE=EM
nên DE=DB+EC
ΔOBA vuông tại B
=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)
=>\(BA^2=6^2-3^2=27\)
=>\(BA=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)
\(C_{ADE}=AD+DE+AE\)
\(=AD+AE+DB+EC\)
=AB+AC
\(=3\sqrt{3}\cdot2=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)
