a) \(\Delta ABC\) có \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) \(\Rightarrow ABC\) cân tại A
\(\Rightarrow\) AB = AC
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABN}=180^o\) (kề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACM}=180^o\) (kề bù)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (gt)
\(\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)
Xét hai tam giác ABN và ACM có:
AB = AC (gt)
\(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\left(cmt\right)\)
BN = CM (gt)
Vậy \(\Delta ABN=\Delta ACM\left(c-g-c\right)\)
b) Vì \(\Delta ABN=\Delta ACM\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\) AN = AM
\(\Rightarrow\) \(\Delta ANM\) cân tại A
Xét hai tam giác vuông BNK và CMH có:
BN = CM (gt)
\(\widehat{BNK}=\widehat{CMH}\) (do \(\Delta ANM\) cân tại A)
Vậy \(\Delta BNK=\Delta CMH\left(ch-gn\right)\)
Suy ra: BK = CH (hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: \(\widehat{KBN}=\widehat{OBC}\) (đối đỉnh)
\(\widehat{MCH}=\widehat{OCB}\) (đối đỉnh)
Mà \(\widehat{KBN}=\widehat{MCH}\left(\Delta BNK=\Delta CMH\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
\(\Rightarrow\Delta OBC\) cân tại O
\(\Rightarrow\) OB = OC
Xét hai tam giác ABO và ACO có:
AB = AC (cmt)
OB = OC (cmt)
AO: cạnh chung
Vậy \(\Delta ABO=\Delta ACO\left(c-c-c\right)\)
Suy ra: \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\) (hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{NAO}=\widehat{NAB}+\widehat{BAO}\)
\(\widehat{MAO}=\widehat{MAC}+\widehat{CAO}\)
Mà \(\widehat{NAB}=\widehat{MAC}\) (\(\Delta ABN=\Delta ACM\))
\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{NAO}=\widehat{MAO}\)
Do đó AO là tia phân giác của \(\widehat{MAN}.\)
