Question

Cho \(\Delta ABC\) có các đường trung tuyến AM, BN, CP.

C/minh: \(\dfrac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)< AM+BN+CP< AB+BC+CA\)

Answer 1

Gọi O là trọng tâm của tam giác. Ta có:

OA + OB > AB

OA + OC > AC

OB + OC > BC

=> 2(OA + OB + OC) > AB + BC + CA

\(\Rightarrow2\cdot\left(\dfrac{2}{3}AM+\dfrac{2}{3}BN+\dfrac{2}{3}CP\right)>AB+BC+CA\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}\left(AM+BN+CP\right)>AB+BC+CA\)

\(\Rightarrow AM+BN+CP>\dfrac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)\)

Ta có:

Nếu góc AMB tù hoặc vuông thì AB > AM

Nếu góc AMC tù hoặc vuông thì AC > AM

Tương tự: BC > BN hoặc BA > BN

CA > CP hoặc CB > CP

Vậy các cạnh của tam giác ABC luôn lớn hơn 2 trong 3 trung tuyến

=> AB + BC + CA > AM + BN + CP

Vậy...........................................