Có \(P=\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}\)
\(=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}=\dfrac{4}{y\left(4-y\right)}=\dfrac{4}{-y^2+4y}=\dfrac{4}{-\left(y-2\right)^2+4}\ge1\)
"=" xảy ra khi y = 2 ; x = 1 ; z = 1
Ta có x+y+z=4
=>y=4-x-z
Ta có :x,y,z>0
=>\(x^2>0,z^2>0\)
=>\(x^2z>0,z^2x>0\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si với hai số dương \(x^2z\) và z ta có
\(x^2z+z\)>=2\(\sqrt{x^2z.z}\)
<=>\(x^2z+z>=2xz\)
CMTT:\(z^2x+x>=2xz\)
=>\(x^2z+z+z^2x+x>=4xz\)
=>\(x+z>=4xz-x^2z-z^2x\)
=>\(x+z>=xz\left(4-x-z\right)\)
Mà y=4-x-z(cmt)
=>\(x+z>=xyz\)
=>\(\dfrac{x+z}{xyz}>=1\)
hay \(P>=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x^2z=z\\z^2x=x\\x+y+z=4\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\z^2=1\\x+y+z=4\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\z=1\\1+y+1=4\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\z=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy tại x=1, y=2,z=1 thì P có giá trị nhỏ nhất là 1
