Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Bùi Đại Hiệp

Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện:x+y+z=2008.Chứng minh rằng:\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge2008\)

Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 2 2020 lúc 6:54

Ta chứng minh BĐT phụ sau với số dương:

\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán:

\(\Rightarrow VT\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=2008\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2008}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Agami Raito
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Khoa
Xem chi tiết
Khởi My
Xem chi tiết
Trần Minh Hiển
Xem chi tiết
Dưa Trong Cúc
Xem chi tiết
le duc minh vuong
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết