Question

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=4

Chứng minh rằng \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\ge1\)

Answer 1

Ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\ge\frac{4}{xy+yz}=\frac{4}{y\left(x+z\right)}\ge\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=z\\y=x+z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=z=1;y=2\)

Answer 2

Với mọi x,y,z>0.Áp dụng bđt svac-xơ có:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\ge\frac{4}{y\left(x+z\right)}=\frac{4}{y\left(4-y\right)}\)(do x+y+z=4)

Có \(\left(y-2\right)^2\ge0\) với mọi y

<=> \(y^2-4y+4\ge0\)

<=> \(4y-y^2-4\le0\)

<=> \(y\left(4-y\right)\le4\)

<=> \(\frac{4}{y\left(4-y\right)}\ge1\)

=>\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\ge1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=z=1 ,y=2