Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyentrongquan123

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 tìm min p=\(\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}+\frac{c}{\sqrt{1-c}}\)

Rồng Đom Đóm
15 tháng 5 2019 lúc 20:27

Ta có:\(P=\sum\frac{a}{\sqrt{1-a}}\)

\(P=\sum\frac{a}{\sqrt{b+c}}\)

\(P\ge\sum\frac{\sqrt{\frac{8}{3}}a}{b+c+\frac{2}{3}}=\sum\sqrt{\frac{8}{3}}\frac{a^2}{ab+ac+\frac{2}{3}a}\)

\(P\ge\sqrt{\frac{8}{3}}\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)+\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)}\left(cauchy-sch\text{w}arz\right)\)

\(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{8}{3}}\frac{1}{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}.\frac{3}{4}=\sqrt{\frac{3}{2}}\)

"="<=>a=b=c=1/3


Các câu hỏi tương tự
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
ĐỖ THỊ THANH HẬU
Xem chi tiết
tran xuân phương
Xem chi tiết
Minecraftboy01
Xem chi tiết
Hàn Thiên Băng
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Nguyễn Đình Thành
Xem chi tiết
EDOGAWA CONAN
Xem chi tiết