a) Ta có: \(MI=IN=\frac{MN}{2}\)(I là trung điểm của MN)
\(QK=KP=\frac{QP}{2}\)(K là trung điểm của QP)
mà MN=QP(Hai cạnh đối trong hình bình hành MNPQ)
nên MI=IN=QK=KP(1)
Ta có: MQ=NP(Hai cạnh đối trong hình bình hành MNPQ)
mà \(MQ=\frac{MN}{2}\)(gt)
và \(MI=\frac{MN}{2}\)(I là trung điểm của MN)
nên MQ=NP=MI(2)
Từ (1) và (2) suy ra MI=IN=NP=PK=KQ=MQ
Xét tứ giác MIKQ có
MI//QK(MN//QP, I∈MN, K∈QP)
MI=QK(cmt)
Do đó: MIKQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành MIKQ có MI=MQ(cmt)
nên MIKQ là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
b) Ta có: A đối xứng với Q qua M(gt)
nên M là trung điểm của AQ
⇒AM=MQ
mà MQ=MI(cmt)
nên AM=MI
Ta có: \(\widehat{AMI}+\widehat{QMI}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{AMI}=180^0-\widehat{QMI}=180^0-120^0\)
hay \(\widehat{AMI}=60^0\)
Xét ΔAMI có AM=MI(cmt)
nên ΔAMI cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔAMI cân tại M có \(\widehat{AMI}=60^0\)(cmt)
nên ΔAMI đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
c) Sửa đề: Chứng minh AMPN là hình chữ nhật
Ta có: AM=MQ(cmt)
mà MQ=NP(hai cạnh đối trong hình bình hành MNPQ)
nên AM=NP
Xét tứ giác AMPN có
AM//NP(MQ//NP, A∈MQ)
AM=NP(cmt)
Do đó: AMPN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà I là trung điểm của MN(gt)
nên I là trung điểm của AP
Ta có: \(AI=\frac{AP}{2}\)(I là trung điểm của AB)
\(MI=\frac{MN}{2}\)(I là trung điểm của MN)
mà MI=AI(ΔAMI đều)
nên AP=MN
Hình bình hành AMPN có AP=MN(cmt)
nên AMPN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
d) Ta có: AI=AM(ΔAMI đều)
mà AI=4cm
nên AM=4cm
Ta có: MI=AM(cmt)
mà AM=4cm(cmt)
nên MI=4cm
mà \(MN=2\cdot MI\)(I là trung điểm của MN)
nên MN=8cm
Áp dụng định lí Pytago vào ΔAMN vuông tại A, ta được:
\(MN^2=AM^2+AN^2\)
\(\Leftrightarrow AN^2=MN^2-AM^2=8^2-4^2=48\)
hay \(AN=4\sqrt{3}cm\)
Ta có: AMPN là hình chữ nhật(cmt)
nên \(S_{AMPN}=AM\cdot AN=4\cdot4\sqrt{3}=16\sqrt{3}cm^2\)
