Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Đình Thái

Cho a,b,c>0 tm a+b+c=6

CMR \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge3\)

Vũ Đình Thái
25 tháng 4 2021 lúc 20:24

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\)

\(=\dfrac{a^3+ab^2-ab^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3+bc^2-bc^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3+ca^2-ca^2}{c^2+a^2}\)

\(=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2}+\dfrac{b\left(b^2+c^2\right)}{b^2+c^2}+\dfrac{c\left(c^2+a^2\right)}{c^2+a^2}-\left(\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+a^2}\right)\)\(=a+b+c-\left(\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+a^2}\right)\)\(\ge6-\left(\dfrac{ab^2}{2ab}+\dfrac{bc^2}{2bc}+\dfrac{ca^2}{2ca}\right)=6-\dfrac{a+b+c}{2}=6-\dfrac{6}{2}=3\)      (dpcm)Dau = xay ra khi a=b=c=2

Các câu hỏi tương tự
:vvv
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Thư Nguyễn Nguyễn
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
Lê Phương Thùy
Xem chi tiết
Nhàn Nguyễn
Xem chi tiết
Sendaris Thalleous
Xem chi tiết
Nguyễn Lâm Ngọc
Xem chi tiết