Question

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge3\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(\frac{ab}{c}=x; \frac{bc}{a}=y; \frac{ca}{b}=z\Rightarrow a^2=xz; b^2=xy; c^2=yz\)

Bài toán trở thành: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn \(xy+yz+xz=3\)

Chứng minh \(x+y+z\geq 3\)

-------------------------------------------

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\geq 3(xy+yz+xz)\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)=9\)

\(\Rightarrow x+y+z\geq 3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$