Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Big City Boy

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: ab+bc+ca=3. Chứng minh: \(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)

Nguyễn Ngọc Huy Toàn
24 tháng 5 2022 lúc 14:09

\(ab+bc+ac=3\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{ab+1}\) ( đúng với mọi \(ab\ge1\))

Giả sử:\(ab\ge1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{ab+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge\dfrac{2c^2+2+ab+1}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}=\dfrac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}\)

Giả sử: \(\dfrac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)(đúng)

\(\Leftrightarrow2\left(2c^2+ab+3\right)\ge3\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4c^2+2ab+6\ge3\left(abc^2+ab+c^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4c^2+2ab+6\ge3abc^2+3ab+3c^2+3\)

\(\Leftrightarrow c^2-ab-3abc^2+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow c^2-ab-3abc^2+ab+ac+bc\ge0\)   ( vì \(ab+ac+bc=3\) )

\(\Leftrightarrow c^2+ac+bc-3abc^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow c+a+b-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow c+a+b\ge3abc\)

Ta có:

\(3\left(c+a+b\right)=\left(ab+ac+bc\right)\left(c+a+b\right)\) ( vì \(ab+ac+bc=3\) )

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(\left(ab+ac+bc\right)\left(c+a+b\right)\ge9abc\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3abc\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}\ge\dfrac{3}{2}\) ( luôn đúng )

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\) ( đfcm )

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

 

 

Hồ Lê Thiên Đức
24 tháng 5 2022 lúc 14:03

Hình như sai đề rồi bạn ạ, dấu ≥ phải là ≤


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Tiểu Bảo Bảo
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Toankhowatroi
Xem chi tiết