Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử \(c=\min (a,b,c)\)
Khi đó, do \(ab+bc+ac=3\Rightarrow ab\geq 1\).
Với $ab\geq 1$ ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\)
Để cm bổ đề trên rất đơn giản. Quy đồng và biến đổi tương đương thu được \((a-b)^2(ab-1)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(ab\geq 1\) )
Sử dụng bổ đề vào bài toán:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}=\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}(*)\)
Giờ ta sẽ cm \(\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\geq \frac{3}{2}(**)\)
\(\Leftrightarrow 2(2c^2+ab+3)\geq 3(abc^2+ab+c^2+1)\)
\(\Leftrightarrow c^2+3\geq 3abc^2+ab\)
\(\Leftrightarrow c^2+bc+ac\geq 3abc^2\)
\(\Leftrightarrow c+b+a\geq 3abc\).
BĐT trên đúng do theo AM-GM: \(3(a+b+c)=(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 9abc\Rightarrow a+b+c\geq 3abc\) )
Do đó $(*)$ được cm.
Từ \((*),(**)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
