Question

cho a,b,c>0 . CMR: \(\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}\le\frac{a+b+c}{4}\)

Answer 1

Akai HarumaNguyễn Thành Trương

Answer 2

<= 3/4 nha ko phải a+b+c

Answer 3

minhf lm dc cau nay rồi

Answer 4

Lời giải:

Đặt \(P=\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}\)

\(3P=1-\frac{a}{a+3b}+1-\frac{b}{b+3c}+1-\frac{c}{c+3a}=3-\left(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và hệ quả quen thuộc (\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\)) của BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}=\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ca}\)

\(\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+3ab+b^2+3bc+c^2+3ac}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{4}\)

Do đó:

\(3P\leq 3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$