ta có:
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng VT với vế phải và VT với VT ta có:
\(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow M>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\Rightarrow M>1\left(1\right)\)
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Tiếp tục công vế như lời giải trên ta có;
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow M< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\Rightarrow M< 2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow M\) không phải số nguyên (đpcm)
