Hình vẽ:
~~~~
Có: AM = 1/2 BC (gt)
mà MB = MC =1/2BC (gt)
=> AM = MB; AM = MC
=> \(\Delta MAB\) cân tại M; \(\Delta MAC\) cân tại M
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{B};\widehat{A_2}=\widehat{C}\)
=> \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{B}+\widehat{C}\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{B}+\widehat{C}\) (1)
mà \(\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) (2)
Thế (1) vào (2) ta có:
\(\widehat{BAC}+\widehat{BAC}=180^o\)
hay \(2\cdot\widehat{BAC}=180^o\Rightarrow\widehat{BAC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\left(đpcm\right)\)
Ta có: M là trung điểm của BC (gt)
\(\Rightarrow\) BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC
mà AM = \(\dfrac{1}{2}\)BC (gt)
\(\Rightarrow\) AM = BM = CM
\(\Rightarrow\Delta AMB\) cân tại M
\(\Rightarrow\) \(\widehat{B}=\widehat{A_1}\) (1)
Ta có: BM = CM (cmt)
\(\Rightarrow\Delta AMC\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{A_2}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}.\left(\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{A_1}+\widehat{A_2}\right)\)
mà \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) (tổng 3 góc trong tam giác)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}.180^o=90^o\)
Vậy \(\widehat{BAC}=90^o\).
