Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Không Bít

Cho a,b,c là các số dương t/m a+b+c=3.Tìm GTNN của biểu thức ; \(P=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)

Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 2 2020 lúc 21:19

\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Làm tương tự và cộng lại

\(\Rightarrow P\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge a+b+c-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Hoàng Thị Ánh Phương
25 tháng 2 2020 lúc 21:41

Ta có : \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

\(=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có : \(1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\)

\(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Chứng minh tương tự ta được :

\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\)

\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng theo từng vế của 3 BĐT trên ta được

\(VT\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Ta có BĐT : \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\left(1\right)\)với x , y , z dương

Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge3xy+3yz+3zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

Áp dụng BĐT (1) ta được : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)

Khi đó : \(VT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Trịnh Lê Như Nguyệt
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Lê Phan Lê Na
Xem chi tiết
✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿
Xem chi tiết