Bài 1: Dùng bđt cô si cho 2 số (cái này quá ez m tự chứng minh)
\(A=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}=8\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c= 1
bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{2}\)
Đăng thức xảy ra khi x =y = z
Bài 3:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{3}=\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi a =b =c=1/2
2/ Chứng minh BĐT Cauchy-Schwarz cho các số dương a; b
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\frac{bx^2+ay^2}{ab}\ge\frac{x^2+2xy+y^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(bx^2+ay^2\right)\ge ab\left(x^2+2xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow abx^2+a^2y^2+b^2x^2+aby^2\ge abx^2+2abxy+aby^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
//
Còn ở bài 3 thì ta luôn có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) \(\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Nói chung hầu hết các BĐT dạng đa thức đều xoay quanh hằng đẳng thức số 2
@Nguyễn Việt Lâm Hộ em lại bài 2 và 3 chi tiết với ! Cái nào dùng HĐT chứng minh hộ em rồi áp dụng đc k ạ ?
