Question

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh ab + ac + bc < a² + b² + c² < 2(ab+ac+bc).
Ai biết giải thì giúp mình với mình xin cảm ơn

Answer 1

+)\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

+)\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2\left(ab+bc+ca\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-ab-ca\right)+\left(b^2-ab-bc\right)+\left(c^2-bc-ca\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b-c\right)+b\left(b-a-c\right)+c\left(c-b-a\right)< 0\)(luôn đúng)